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NÚMEROS COMPLEJOS

Definiciones

Un número complejo se expresa por norma general en la forma a + bi en donde A y B son números reales e i, llamada unidad imaginaria, se caracteriza por tener la propiedad de que i 2 = -1. Los números reales a y b se conocen respectivamente como las partes real e imaginaria de a + bi.

Los números complejos a + bi y a - bi se conocen como conjugados complejos el uno del otro.

Igualdad entre números complejos

a + bi = c + di      Û      a = c   y   b = d

Suma de complejos

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)·i

Resta de complejos

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)·i

Producto de complejos

(a + bi) · (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)·i

Cociente de complejos

a + bi / c + di
=
(a + bi)·(c - di) / (c + di)·(c - di)
= [
ac + bd / c 2 + d 2
] + [
bc - ad / c 2 + d 2
] · i

Representación gráfica de un complejo

Un número complejo a + bi se puede representar mediante un punto (a,b) sobre un plano llamado diagrama de Argand o plano de Gauss.

Un número complejo también puede interpretarse como el vector OP→.


Gráfica de números complejos

Forma polar de un número complejo

En la figura adjunta en punto P cuyas coordenadas son (x,y) representa el número complejo x + iy. El punto P también se puede representar por medio de coordenadas polares (r , θ) puesto que:

x = r·cosθ
y = r·senθ

se sigue que:

x + iy = r·(cosθ + i·senθ)

siendo esta la forma polar del número complejo.


Gráfica de números complejos

Llamaremos módulo del complejo a:

√x2 + y2

Llamaremos argumento del complejo a:

θ

Teorema de DE MOIVRE

Siendo P un Número real cualquiera:

[r·(cosθ + i·senθ)] p = r p · (cospθ + i·senpθ)

Raices de números complejos

Sea n un número entero positivo cualquiera:

n√r·(cosθ + i·senθ) = n√r · (cos
θ + 2kπ / n
+ i·sen
θ + 2kπ / n
)

donde k es cualquier número entero. De aquí se pueden obtener las n raices n-ésimas de un número complejo haciendo k = 0,1,2,...,n-1